No habiendo llegado al Polo Norte, Nansen autorizó a Sverdrup a probar fortuna por su cuenta con el Fram. De este modo se fue gestando desde octubre de 1897 una expedición que había de superar con éxito cuatro invernadas sucesivas y descubrir en el Ártico lugares importantes.
Se ha podido calificar esta expedición de aburrida, porque excepto un incendio, sofocado rápidamente, estuvo desprovista, en efecto, de las peripecias trágicas de otros viajes, como el escorbuto, el hambre, el naufragio y hasta la tensión que reina en las empresas proyectadas con miras a lograr un objetivo concreto, como el paso del Noroeste o el triunfo sobre los polos. Con Sverdrup, nada imprevisto, ningún accidente, porque el material y los hombres estaban adaptados a la tarea perseguida. En resumen, la expedición noruega, al principio del siglo XX, muestra por fin la exploración polar bajo su aspecto moderno: esfuerzo cotidiano, a veces penoso, pero fecundo.
Abandonó el Fram Noruega el 27 de junio de 1898, llevando 16 hombres a bordo, marinos y especialistas cuyos nombres quedaron inmortalizados por tierras inhospitalarias, por fiordos helados, por bahías abarrotadas de campos de hielo entre los 80 y 120º O. y 82º N. El objetivo principal era el Polo Norte por el estrecho de Smith.
Pero Sverdrup, a pesar de su larga experiencia, nunca había de llegar al océano Ártico, ni siquiera rebasar la cuenca de Kane; dejando a Peary, que operaba en las mismas regiones, el cuidado de apuntar hacia el Polo, decidió el noruego ejercitar su esfuerzo en el ángulo delimitado por las islas Parry, al sur, y la tierra de Ellesmere, al este.
lnvernó sucesivamente al norte del cabo Sabine a 78º 45' N. Y 74° 30' O., y luego en el estrecho de Jones, entre Ellesmere y North-Devon, primero en una bahía abrigada de Havnefjord (76º 30' N., 84º O.), y más tarde, en dos ocasiones, en Gaasefjord o fiordo de las Ocas, a 88º 30' N., 84º O., al principio, a 76º 50' N., y luego unas doce millas más al sur.
En la primavera de 1899 exploró las proximidades de la isla Bache, entre Ellesmere al sur y Grinell al norte, reconociendo que la pretendida isla era una península; durante el verano, el propio Sverdrup tocó en el fiordo Bay (79º N., 81º O.) y Braskerud, más al sur, explorando los glaciares hasta 83º O.
La gran expedición de trineos partió del Fram el 20 de marzo de 1900, en dirección oeste, franqueó el «Rue d'Enfer», estrecho entre el cuerno sudoeste de Ellesmere y North-Kent, dirigiéndose hacia el norte para explorar la costa occidental, denominada globalmente Tierra del Rey Óscar. Este frente oeste de Ellesmere presentaba el aspecto acostumbrado de aquella región, con acantilados y materiales de montaña desmoronada, cañones de origen glaciar, que recortaban mesetas de altura de 500 a 800 m. Partiendo del cabo de Oso (Store Bjórnkak), Sverdrup se dirigió hacia el noroeste, donde reconoció un cabo coronado por dos cráteres: el cabo Sudoeste. Se sintió intrigado por icebergs que no podían proceder sino del fiordo de Greely, a los 81º N. y 80º O., lo que suponía la existencia de un brazo de mar extendido de norte a sur, el estrecho Eureka.
A pesar del mal tiempo, Sverdrup partió para el norte hacia mediados de abril; la tierra situada a su derecha recibió el nombre de Axel-Heiberg, que tomó al principio por una porción de Ellesmere. Alcanzó el 2 de mayo los 80º 31' y el 5 los 81º por 94º O. Si hubiese avanzado 25 millas más al norte hubiera descubierto que Axel-Heiberg era una isla... La flema cósmica del noruego no excluía un humorismo frío. En aquella época escribe: "¿Qué íbamos a contemplar? La excitación de viajar en una región extraña, con buen tiempo, es por completo distinta de las sensaciones que yo experimentaba en aquel momento." Al oeste de Axel-Heiberg, Isachsen y Hassel tocaron otra tierra desconocida: Amund-Ringnes, divisada el 16 de abril desde el campamento del cabo Levvel.
En 1901, las exploraciones en trineos examinaron el estrecho Eureka y sus anexos orientales, el fiordo Baumann, las penínsulas de Raanes y Fosheim, el fiordo Cañón. Aparecía más probable cada vez el carácter insular de Axel-Heiberg.
Se aceleró el ritmo en 1902, antes de la partida definitiva. Sverdrup, con Schei, remontó totalmente los estrechos Eureka y luego el de Nansen, que lo prolonga al noroeste; el 7 de mayo llegó al cabo Land's Lokk, en el extremo oeste de Grant (81º 40' N., 92º 45' O.) Axel-Heiberg era una isla y la costa de Grant se dilataba al noroeste hacia el punto extremo alcanzado por Aldrich en 1876. Al mismo tiempo Isachsen y Hassel rodeaban por el oeste y el norte las islas Ringnes, y exploraban en sus dos extremos el estrecho de Hassel, que las separa. Baumann, Fosheim y Raanes franquearon el apéndice de la península Grinell, cuerno norte occidental de North-Devon, y recorrieron el canal de Wellington hasta la isla Beechy (74º 40' N., 91º 50' O.), antiguamente lugar de invernada de Franklin, que hallaron ser una península.
El 15 de julio el Fram flotaba de nuevo; el 16, se llenó la caldera; el 6 de agosto el barco se ponía en movimiento, saliendo del fiordo; después, en el estrecho Jones, desplegadas todas las velas, partió definitivamente en dirección a Noruega, adonde llegó a finales de septiembre.
Además de sus descubrimientos puramente geográficos, Sverdrup traía una serie completa de observaciones meteorológicas, una colección de minerales, un herbario, piezas zoológicas y un trazado de lugares arqueológicos donde se había observado la presencia de esquimales en época antigua. Estaban situados en Ellesmere, North-Devon y en el este de Axel-Heiberg, pero no se había descubierto ninguno en las islas Ringnes, no obstante la presencia de bueyes almizclados.
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